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2006.06.14
気分転換に今日は数学のお題にレッツ━━o(・∀・)○━━ゴー!!
たまぁにはこんなのも良いなと思ったり^^

この問題は幽さんのところで見つけたものです。
面白そうだったんで(〃 ' ')ノペタペタ。

お題<br /><br />1図の灰色の部分の面積を求めよ。

一辺10cmの正方形に
直径10cmと半径10cmの円が重なったものです。
(円周率はΠ)





解ける方いるかな・・・?
何年も前の有名中学の入試問題みたいなんだけど・・・
中学入試ってことは小学生だよね?ヽ(・∀・;)ノ

私は小学生っぽい知識では解けなかったです(´_`。)
今時の小学生はどの程度学んでるのかしら・・・(・ω・;A)

解けたっ!!って方解法(〃ノ_ _)ノ ヨロシクデスッ♪





↓私なりの解答を((φ(・ω・*)かきかき♪
まだ頑張りたいっ!って方は解答は見ずにもうちょっと頑張って(,,-ω-)(-ω-,,)ネー

思いっきり中学入試って言うのを無視しちゃってますっ!!
だって・・・解けないんだもーーん。゜゜(´□`。)°゜。


私の解答は 『扇形利用法』 ・・・なんて勝手に命名してみたり(〃∇〃;)ヾ

さっそく図を用いてρ(・ω・*)ノ いってみよぉ~♪

お題2

図形の場合は見たら解答まで行けそうな気になっちゃいますよね(・ω・;A)
イメージ掴むまでが勝負だから、ここまで出来たら後は知識でゴー♪o(*・ω・)○

↑この左上にある図形の色を塗った三日月の部分が今から求める面積。
『扇形解答法』 って言ったのは、この図形の内部にある2つの扇形に着目して解答を導くため。

【扇形1】 半径5cmの小さい円で作られる扇形(薄紫色:2行目1番左の図形部分)
【扇形2】 半径10cmの大きい円で作られる扇形(薄灰色:3行目1番左の図形部分)


これで、どちらの扇形も三角形部分を切り取り、1番右の図形2つとして
【扇形1の残った部分】-【扇形2の残った部分】 を求めると三日月部分の面積になります♪



さて、イメージは完璧゚+.゚( ̄  ̄人)゚+.゚
と言うわけで、解答への計算へρ(・ω・*)ノ いってみよぉ~♪

↑のそれぞれの面積を求めるのに必要な補助線をいくつか(〃 ' ')ノペタペタ。
これで一気に数学らしくなります(・ω・;A)

小学生の算数図形問題は何処へ ...( = =)

お題3


1. 1辺10cmの正方形の4つ角を左下から ABCD とする
2. 正方形に内接している半径5cmの円の中心を O とする
3. 求める三日月を真っ二つにする正方形の角 BD を結んだ直線 BD を引く
4. 半径5cmの小さい円の円弧を 弧x、半径10cmの大きい円の円弧を 弧yと呼ぶ
5. 求める三日月と 弧x、弧y、直線 BD が交わる点を左手前から図のように abcd とする
6. 弧x、弧yの交点 c から直線 BD に垂直に降ろした直線の交点を e とする
7. 直線 ce の長さを h とする
8. 弧x が作る扇形 ∠cOb の角度を θ2、弧y が作る扇形 ∠cDd の角度を θ1 とする

これでイイカナ?ε('∞';)フゥー

では、順に↑のイメージで示した部分の面積を求めていきます。

θ2にしたのは間違いだったような・・・見難い(´_`。)
と言うわけでこっそり θ1 → θ 、 θ2 → θ' にしようっと・・・|ω-)))コソコソ
図は描き直すの面倒だから許してくださいっ(〃ノ_ _)ノ




扇形の面積は 【円の面積×扇形の角度/2Π】 で求められるので

【S1-1】 扇形1(cOa) の面積
 →  Π(5)^2 * 2θ' / 2Π = 25θ'
【S2-1】 扇形2(cDa) の面積
 →  Π(10)^2 * 2θ / 2Π = 100θ

三角形の面積は 【1/2×θを挟む2辺の長さの乗算×sinθ】 で求められるので

【S1-2】 三角形1(∠cOa) の面積
 →  1/2 * (5)^2 * sin2θ' = 25/2sin2θ' = 25/2 * 2sinθ'cosθ'
【S2-2】 三角形2(∠cDa) の面積
 →  1/2 * (10)^2 * sin2θ = 50sin2θ = 50 * 2sinθcosθ

ここで、sinθcosθ、sinθ'cosθ' を求める。

cosθ は 【三角形∠cDOの余弦定理】 で求められるので
(cO)^2 = (cD)^2 + (OD)^2 - 2 * (cD)(OD)cosθ
25 = 100 + 50 - 2 * 10 * 5√2cosθ
∴ cosθ = 5 / 4√2 より、sinθ = √7 / 4√2

cosθ' を求めるために、直線 ce の長さ h を求める。
直角三角形∠cDeより、h / 10 = sinθ = √7 / 4√2
∴ h = 5√7 / 2√2

上記と同様に三角形の定義より
直角三角形∠cOeより、h / 5 = sinθ'
∴ sinθ' = √7 / 2√2 より、cosθ' = 1 / 2√2

これらを代入して、扇形の三角形部分の面積を求める。

【S1-2】 三角形1(∠cOa) の面積
 →  25/2 * 2sinθ'cosθ' = 25/2 * 2(√7 / 2√2)(1 / 2√2) = 25√7 / 8
【S2-2】 三角形2(∠cDa) の面積
 →  50 * 2sinθcosθ = 50 * 2(5 / 4√2)(√7 / 4√2) = 125√7 / 8

ここで、扇形の面積は cosθ'、sinθ'、cosθ、sinθ が分かっているので

sinθ' = √7 / 2√2、sinθ = √7 / 4√2 より
θ' = arcsin(√7 / 2√2)、θ = arcsin(√7 / 4√2)

【S1-1】 扇形1(cOa) の面積
 →  25θ' = 25arcsin(√7 / 2√2)
【S2-1】 扇形2(cDa) の面積
 →  100θ = 100arcsin(√7 / 4√2)


以上より、求める三日月部分の面積は
(【S1-1:扇形1】-【S1-2:三角形1】)-(【S2-1:扇形2】-【S2-2:三角形2】) より
{25arcsin(√7 / 2√2)-25√7 / 8}-{100arcsin(√7 / 4√2)-125√7 / 8}

∴ 25√7 / 2 + 25arcsin(√7 / 2√2)- 100arcsin(√7 / 4√2)


・・・合ってるのかな?
それ以前に、小学生はarcsinとか分からないよね(・ω・;A)

まぁ、いっか♪



以上、(*´∇`)ノオツカレサマ~☆.。.:*

※ 三角形の面積は余弦定理みたいな面倒にしなくても
  三角形1 = Oe*h、三角形2 = De*h でも求められましたね^^



ε('∞'*)フゥー
数学を文字で並べるのって大変(,,-ω-)(-ω-,,)ネー。
図を描くのが一番楽しかったような・・・w

私も現役を離れてから早くも...( = =)ぅむ。

家庭教師をしていた頃が懐かしいなぁなんて思いながら解いてました^^
学生時代で一番バイトしてた頃がウェイトレスにお土産やに佐川急便
それに、中学受験生+高校受験生+大学受験生の家庭教師3セット。

何気に一番教えるのが簡単なのが、大学受験で
小中学校生の図形の関数使わずに解くのがパズルみたいで楽しかったですね。
x(エックス)を使えないとかねw
懐かしい(*´-`)(´-`*)ネー。

いやぁ・・・夏休みなんて家には寝るだけしか帰ってなかったですから。
睡眠時間2時間が当たり前とか。
はっきり言って、今より月給余裕で多かったです(〃∇〃;)ヾナハハ…



今日は、最近お悩みの心のパズルも解けそうなくらい良いことがあったので
数学の問題にチャレンジしてみました。

今のミッションは、『迷宮よりお姫様を救出せよっ!』 かな♪
意味不明ですね^^

頑張るヽ(・∀・。)ノ ゾー゚+。
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